Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим ма­ши­ни­ста ско­ро­го по­ез­да. Де­ре­во будет скры­то от него все время t от мо­мен­та, когда ма­ши­нист, де­ре­во и на­ча­ло пер­во­го ва­го­на пас­са­жир­ско­го по­ез­да ока­жут­ся на одной пря­мой, и до мо­мен­та, когда ма­ши­нист, де­ре­во и конец по­след­не­го ва­го­на пас­са­жир­ско­го по­ез­да ока­жут­ся на одной пря­мой. В те­че­ние этого же вре­ме­ни де­ре­во будет скры­то от лю­бо­го из пас­са­жи­ров ско­ро­го по­ез­да. Изоб­ра­зим на­чаль­ное и ко­неч­ное по­ло­же­ния на ри­сун­ках; де­ре­во рас­по­ло­же­но ближе ко вто­ро­му пути, по ко­то­ро­му сле­ду­ет пас­са­жир­ский поезд.

Вы­ра­зим ско­ро­сти по­ез­дов в м/с: 108 км/ч  =  30 м/с, 68,4 км/ч  =  19 м/с. Тре­уголь­ни­ки ACE и BCD по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 100 : 20  =  5. Опре­де­лим длины их сто­рон: Тогда:

Тогда

Ответ: 99.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вы­ра­зим ско­ро­сти по­ез­дов в мет­рах в се­кун­ду: 108 км/ч  =  30 м/с, 68,4 км/ч  =  19 м/с. Пусть вме­сто де­ре­ва стоит фо­нарь, а пас­са­жир­ский поезд, иду­щий по вто­ро­му пути, от­бра­сы­ва­ет на пер­вый путь тень. Пер­вый путь в 5 раз даль­ше от фо­на­ря, чем вто­рой, по­это­му длина тени в 5 раз боль­ше длины са­мо­го по­ез­да, и ско­рость тени в 5 раз боль­ше ско­ро­сти по­ез­да. Итак, тень дли­ной 5 · 165  =  825 (м) дви­жет­ся по пер­во­му пути со ско­ро­стью 5 · 19  =  95 (м/с). Ско­рый поезд сбли­жа­ет­ся с этой тенью со ско­ро­стью 125 м/с. По­это­му он прой­дет мимо тени за 825 : 125  =  6,6 (с). Ис­ко­мая ве­ли­чи­на в 15 раз боль­ше, она равна 99.

Усо­вер­шен­ству­ем вто­рое ре­ше­ние.

Вы­ра­зим ско­ро­сти по­ез­дов в мет­рах в се­кун­ду: 108 км/ч  =  30 м/с, 68,4 км/ч  =  19 м/с. Спро­ек­ти­ру­ем дви­же­ние ско­ро­го по­ез­да на вто­рой путь, по ко­то­ро­му дви­жет­ся пас­са­жир­ский поезд. Пер­вый путь в 5 раз даль­ше от фо­на­ря, чем вто­рой, по­это­му про­ек­ция будет дви­гать­ся в 5 раз мед­лен­нее, то есть со ско­ро­стью 6 м/с. Пас­са­жир­ский поезд сбли­жа­ет­ся с про­ек­ци­ей со ско­ро­стью 25 м/с, по­это­му он прой­дет мимо тени за 165 : 25  =  6,6 (с). Ис­ко­мая ве­ли­чи­на в 15 раз боль­ше, она равна 99.